Question

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角恰為．

（Ⅰ）求該橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，的中垂線與軸和軸分別交于兩點(diǎn),

記△的面積為，△（為原點(diǎn)）的面積為，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）解：依題意，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的頂點(diǎn)時(shí)，其傾斜角為   1分

則 ．                          2分

將  代入 ，

解得 ．                                    3分

所以橢圓的離心率為 ．                     4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），橢圓的方程可設(shè)為．          5分

設(shè)，．

依題意，直線不能與軸垂直，故設(shè)直線的方程為，將其代入

得 ．            7分

則 ，，

．                     8分

因?yàn)?，

所以 ，．              9分

因?yàn)?△∽△，

所以           11分

．                13分

所以的取值范圍是．                   14分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，a,b,c,e的關(guān)系。曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。對(duì)于三角形面積計(jì)算問(wèn)題，注意應(yīng)用已有垂直關(guān)系及弦長(zhǎng)公式。本題應(yīng)用韋達(dá)定理，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。