Question

（2006•朝陽(yáng)區(qū)二模）將直線x+

3

y=0繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，所得直線與圓（x-2）²+y²=3的位置關(guān)系是（　　）

A．直線與圓相離

B．直線與圓相交但不過(guò)圓心

C．直線與圓相切

D．直線過(guò)圓心

Answer 1

分析：算出x+

3

y=0的斜率，從而得到直線的傾斜角α=150°，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°后的直線傾斜角為120°，得到
旋轉(zhuǎn)后的直線方程為

3

x+y=0．利用點(diǎn)到直線的距離公式算出已知圓的圓心到直線

3

x+y=0的距離為d=

3

，剛好等于圓的半徑，由此可得旋轉(zhuǎn)所得直線與圓（x-2）²+y²=3的位置關(guān)系．

解答：解：∵直線x+

3

y=0的斜率k=-

3

3

，∴直線的傾斜角α滿足tanα=-

3

3

，
結(jié)合α∈[0°，180°），可得α=150°
因此，將直線x+

3

y=0繞原點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°，所得直線的傾斜角等于120°
斜率變?yōu)閗'=tan120°=-

3

，
∴旋轉(zhuǎn)后的直線方程為y=-

3

x，即

3

x+y=0
圓（x-2）²+y²=3的圓心為C（2，0），半徑r=

3

∵圓心C到直線

3

x+y=0的距離為d=

|2 3 +0|

3+1

=

3

=r
∴所得直線與圓（x-2）²+y²=3相切
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題將經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)，判斷旋轉(zhuǎn)所得直線與已知圓的位置關(guān)系．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．