Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²-4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），則u=

1

c2+1

+

4

a2+4

的最小值為

2

3

．

Answer 1

分析：先由二次函數(shù)的性質(zhì)得出a、c滿足的關(guān)系式，再利用換元法得到關(guān)系一個(gè)字母的式子，通過求導(dǎo)即可求出其最小值．

解答：解：∵二次函數(shù)f（x）=ax²-4x+c的值域?yàn)閇0，+∞），∴

a＞0 △=16-4ac=0

，解得a＞0，c＞0，ac=4．
∴c=

4

a

，代入u得u=

1

( 4 a )2+1

+

4

a2+4

=

a2

a2+16

+

4

a2+4

．
令a²=t＞0，u=v（t）=

t

t+16

+

4

t+4

，
∴v^′（t）=

t+16-t

(t+16)2

+

-4

(t+4)2

=

12(t2-64)

(t+4)2(t+16)2

，
令v^′（t）=0，（t＞0），解得t=8．
當(dāng)0＜t＜8時(shí)，v^′（t）＜0，函數(shù)v（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t＞8時(shí)，v^′（t）＞0，函數(shù)v（t）單調(diào)遞增．
故當(dāng)t=8時(shí)，函數(shù)v（t）取得最小值v（8）=

8

8+16

+

4

8+4

=

2

3

．
∴則u=

1

c2+1

+

4

a2+4

的最小值為

2

3

．
故答案為

2

3

．

點(diǎn)評：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．