Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，∠ABC=90°，N、F分別為A₁C₁、B₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求四面體F-BCN的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)直棱柱的性質(zhì)及AB⊥BC，判定NF與平面BC₁的垂直關(guān)系，再由線面垂直的性質(zhì)判斷線線垂直，然后由線線垂直⇒線面垂直．
（II）根據(jù)三棱錐的換底性求解即可．
解答：證明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁B⊥AB，BC⊥AB，又B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
又N、F分別為A₁ C₁、B₁ C₁的中點
∴AB∥A₁B₁∥NF．
∴NF⊥平面BB₁C₁C．
∵FC?平面BB₁C₁C．∴NF⊥FC．
∵BB₁=B₁F=C₁F=a，∴BF=CF=a，BC=2a，
∴BF²+CF²=BC²．
∴BF⊥FC，又 NF∩FB=F，
∴FC⊥平面NFB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，NF⊥平面BCC₁B₁，，
=．
點評：本題考查線面垂直的判定及四面體的體積．