Question

（2013•普陀區(qū)二模）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，點(diǎn)P在△ABC所在的平面內(nèi)，且|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a（a為常數(shù)）．下列結(jié)論中，正確的是（　　）

A．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

B．當(dāng)a=1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)

C．當(dāng)a＞1時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)

D．當(dāng)a為任意正實(shí)數(shù)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P是有限個(gè)

Answer 1

分析：以BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)P（x，y），將式子|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a化為關(guān)于x、y、a的式子，化簡(jiǎn)整理可得x²+（y-

3

6

）²=

1

3

（a-1），討論a的取值范圍，可得當(dāng)a＞1時(shí)方程表示以點(diǎn)（0，

3

6

）為圓心，半徑r=

1 3 (a-1)

的圓，滿足條件的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)，可知只有C項(xiàng)符合題意．

解答：解：以BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示
則A（-

1

2

，0），B（

1

2

，0），C（0，

3

2

），設(shè)P（x，y），可得

|PA|

2=x²+（y-

3

2

）²，

|PB|

2=（x+

1

2

）²+y²，

|PC|

2=（x-

1

2

）²+y²
∵|

PA

|2+|

PB

|2+|

PC

|2=a
∴x²+（y-

3

2

）²+（x+

1

2

）²+y²+（x-

1

2

）²+y²=a
化簡(jiǎn)得：3x²+3y²-

3

y+

5

4

-a=0，即x²+y²-

3

3

y+

5

12

-

a

3

=0
配方，得x²+（y-

3

6

）²=

1

3

（a-1）…（1）
當(dāng)a＜1時(shí)，方程（1）的右邊小于0，故不能表示任何圖形；
當(dāng)a=1時(shí)，方程（1）的右邊為0，表示點(diǎn)（0，

3

6

），恰好是正三角形的重心；
當(dāng)a＞1時(shí)，方程（1）的右邊大于0，表示以（0，

3

6

）為圓心，半徑為

1 3 (a-1)

的圓
由此對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)，可得只有C項(xiàng)符合題意
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出正三角形中滿足條件的動(dòng)點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程，著重考查了坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)的距離公式、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和含有參數(shù)的二次方程的討論等知識(shí)，屬于中檔題．