Question

已知函數(shù)f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，其中t∈R．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程．
（2）當(dāng)t∈（0，+∞），求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，求出函數(shù)f（x），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線(xiàn)方程；
（2）根據(jù)f'（0）=0，解得x=-t或x=

t

2

，由t＞0，列表討論能求出f（x）的極值．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，f（x）=4x³+3x²-6x，f（0）=0，
f'（x）=12x²+6x-6（2分）f'（0）=-6．
所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y=-6x．（4分）
（2）解：f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，解得x=-t或x=

t

2

．（5分）
∵t＞0，∴-t＜

t

2

，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-t）	-t	（-t， t 2 ）	t 2	（ t 2 ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴x=-t時(shí)，f（x）取極大值f（-t）=-4t³+3t³+6t³+t-1=5t³+t-1．
x=

t

2

時(shí)，f（x）取極小值f（

t

2

）=4×

t3

8

+3t×

t2

4

-6t²×

t

2

+t-1=-

7

4

t3+t-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程、函數(shù)零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了計(jì)算能力和分類(lèi)討論的思想．