Question

有以下幾種敘述：
①函數(shù)f（x）=|x+a|-|x-a|（a∈R）為奇函數(shù)；
②若函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱；
③設（a，b），（c，d）都是函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間（b＜c），且x₁∈（a，b），x₂∈（c，d），x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂）；
④已知函數(shù)f（x）=

-x2+2ax，  (x≤1) ax+1，(x＞1)

，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞）；
以上說法正確的是

 

．（寫出你認為正確的所有命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：①函數(shù)定義域為R，且f（-x）=-f（x），為奇函數(shù)，②函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)，則其圖象關于x=0對稱，平移可得，③舉反例y=-

1

x

，否定即可，④先要理解其性質為函數(shù)在R上不單調，x≤1時為二次函數(shù)，可能單調遞增，也可能不單調，x＞1，是為一次函數(shù)，要么增要么減，結合討論，先討論二次函數(shù)，在討論一次函數(shù)．

解答： 解：①函數(shù)定義域為R，且f（-x）=|-x+a|-|-x-a|=f（-x）=丨-（x-a）丨-丨-（x+a）丨=丨x-a丨-丨x+a丨=-f（x），為奇函數(shù)，①正確；
②若函數(shù)y=f（x-1）是偶函數(shù)，則其圖象關于x=0對稱，向左平移一個單位得到函數(shù)y=f（x）的圖象，函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=-1對稱，②正確；
③不妨令f（x）=-

1

x

，在（-3，0），（0，3）都是函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間，符合題目條件，但不成立，③錯誤；
④依題意，即在定義域R內，f（x）不是單調的，
當x≤1時，f（x）=-x²+2ax，圖象對稱軸為x=a，函數(shù)不單調的則a＜1即可，
反之，a≥1時，f（x）=-x²+2ax（x≤1）單調遞增，最大值為f（1）=2a-1，此時，f（x）=ax-1（x＞1）單調遞增，且f（x）＞f（1）=a+1，函數(shù)在R上不單調，則2a-1＞a+1即a＞2，
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）∪（2，+∞），④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題難點有二，一是理解“若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）”為函數(shù)在R上不單調，二是討論函數(shù)何時單調，何時不單調，要結合二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質討論．