已知橢圓C：．
（1）雙曲線與橢圓C具有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率互為倒數(shù)，求雙曲線的方程；
（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F2，A、B是橢圓上的點(diǎn)，且，求直線AB的斜率．
【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓方程求得其焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，進(jìn)而可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率，求得雙曲線的長(zhǎng)半軸和短半軸的長(zhǎng)，進(jìn)而可得雙曲線的方程．
（2）設(shè)A（x1，y1），由得出B的坐標(biāo)表示，再由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得出關(guān)于x1，y1的方程，解得x1，y1最后利用直線的斜率公式即可．
解答：解：（1）由已知，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0），離心率為，
所以所求雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（1，0），離心率為2，…（2分）
雙曲線，解得，
所求雙曲線方程為．…（4分）
（2）設(shè)A（x1，y1），由得，…（5分）
由A，B兩點(diǎn)在橢圓上，得，，…（8分）
解得，，…（10分）
所以．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．要記住雙曲線和橢圓的定義和性質(zhì)，解答直線AB的斜率的關(guān)鍵是利用方程組思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，其中左焦點(diǎn)F（-2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段的中點(diǎn)M在圓x2+y2=1上，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1(a＞1)的上頂點(diǎn)為A，左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線AF2與圓M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓C內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P，使|PF1|，|PO|，|PF2|成等比數(shù)列（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，）求
PF1
•
PF2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)．
（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率kON；
（2）設(shè)M橢圓C上任意一點(diǎn)，且
OM
=λ
OA
+μ
OB
，求λ+μ的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，A、B分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，如果四邊形AF1BF2為邊長(zhǎng)為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)為M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l，在l上任取一點(diǎn)P，連接PN交橢圓C于Q，探究
OP
•
OQ
是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，焦距為
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，且直線OM、MN、ON的斜率依次成等比數(shù)列，求△OMN面積的取值范圍．

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