Question

在數(shù)列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，n≥2．
（1）求證：數(shù)列a_n+n是等比數(shù)列；     （2） 求數(shù)列的前n項和為S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意數(shù)列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，有遞推關系構(gòu)造新等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的定義即可求數(shù)列a_n+n是等比數(shù)；
（2）有（1）知數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式的特點，利用錯位相減法即可求其前n項和．
解答：解：（1）∵a_n=2a_n-1+n-2，
∴a_n+n=2（a_n-1+n-1）    
∴數(shù)列{a_n+n}是以a₁+1=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
（2）有（1）知：a_n+n=2ⁿ即：a_n=2ⁿ-n，
∴
∴=
令
則②
①-②得：
=．
∴，
∴．
點評：此題考查了構(gòu)造新等比數(shù)列，還考查了利用錯位相減法求數(shù)列的前n項的和．