在數(shù)列{a
n}中，a
1=1，a
n+1=a
n2+4a
n+2，n∈N
*．
（I）設(shè)b
n=log
3（a
n+2），證明數(shù)列{b
n}是等比數(shù)列；
（II）求數(shù)列{a
n}的通項公式；
（III）設(shè)
，求數(shù)列{c
n}的前n項和T
n．
【答案】
分析：（I）由
可得
，則log
3（a
n+1+2）=2（log
3a
n+2）即可證
（II）由（I）可得
，從而可求
（III）由a
n+1=a
n2+4a
n+2，可得a
n+1-2=a
n2+4a
n則
=
=
=
，利用裂項求和
解答：證明：（I）由
得
∴l(xiāng)og
3（a
n+1+2）=2（log
3a
n+2）（3分）
∵b
n=log
3（a
n+2），
∴b
1=1，b
n+1=2b
n（5分）
（II）由（I）可得
即
∴
（8分）
（III）∵a
n+1=a
n2+4a
n+2，
∴a
n+1-2=a
n2+4a
n∵
=
=
=
（10分）
∴T
n=c
1+c
2+…+c
n=
（10分）
=
=
（12分）
點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，解題中要注意構(gòu)造等比數(shù)列求解通項公式，利用裂項求和，屬于數(shù)列知識的綜合應(yīng)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
在數(shù)列{a
n}中，
=1，
an=an-1+1（n≥2），則數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=
2-21-n
2-21-n
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
在數(shù)列{a
n}中，a
1=，并且對任意n∈N
*，n≥2都有a
n•a
n-1=a
n-1-a
n成立，令b
n=
（n∈N
*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{b
n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
}的前n項和為T
n，證明：
≤Tn＜．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
在數(shù)列{a
n}中，a=
，前n項和S
n=n
2a
n，求a
n+1．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
在數(shù)列{a
n}中,a
1=a,前n項和S
n構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.
(先在橫線上填上一個結(jié)論,然后再解答)
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版）
題型：解答題
在數(shù)列{a
n}中，a
，并且對任意n∈N
*，n≥2都有a
n•a
n-1=a
n-1-a
n成立，令b
n=
（n∈N
*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{b
n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
}的前n項和為T
n，證明：
．
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