Question

一種放射性物質(zhì)最初的質(zhì)量是a克，按每年25%衰減．
（Ⅰ）求t年后，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量y的表達(dá)式；
（Ⅱ）估計(jì)約經(jīng)過多少年（結(jié)果保留1個(gè)有效數(shù)字），該物質(zhì)的剩留量是最初質(zhì)量的

1

3

．      （參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

Answer 1

分析：（Ⅰ）元素衰減問題屬于指數(shù)函數(shù)類型，直接求解可得．
（Ⅱ）設(shè)所需的年數(shù)為x，得方程，兩邊取對數(shù)，再用換底公式變形，代入已知數(shù)據(jù)可得x的近似值，四舍五入即可得出正確答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意，一年后，y=a（1-25%），兩年后y=a（1-25%）²，從而t年后y=a（1-25%）^t；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過x年，該物質(zhì)的剩留量是最初質(zhì)量的

1

3

．
依題意得  

1

3

=0.75x，

x= lg 1 3 lg0.75 = -lg3 lg3-lg4 = lg3 2lg2-lg3 = 0.4771 2×0.301-0.4771 ≈3.8

∴估計(jì)約經(jīng)過4年，該物質(zhì)的剩留量是原來的

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：元素衰減問題屬于指數(shù)函數(shù)類型，本題重考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及指、對數(shù)式的化簡計(jì)算，屬于中檔題．