Question

程先生買了一套總價(jià)為80萬(wàn)元住房，首付30萬(wàn)元，其余50萬(wàn)元向銀行申請(qǐng)貸款，貸款月利率0.5%，從貸款后的第一個(gè)月后開(kāi)始還款，每月還款數(shù)額相等，30年還清．問(wèn)程先生每月應(yīng)還款多少元（精確到0.01元）．
（注：如果上個(gè)月欠銀行貸款a元，則一個(gè)月后，程先生應(yīng)還給銀行固定數(shù)額x元，此時(shí)貸款余額為a（1+0.5%）-x元）

Answer 1

分析：設(shè)程先生在第n 個(gè)月時(shí)還欠銀行貸款a_n萬(wàn)元，每月固定還款x萬(wàn)元，然后根據(jù)題意建立遞推關(guān)系，構(gòu)造新數(shù)列為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，根據(jù)a₃₆₀=0建立方程，求出x即可得到所求．

解答：解：設(shè)程先生在第n 個(gè)月時(shí)還欠銀行貸款a_n萬(wàn)元，每月固定還款x萬(wàn)元，則
a_n=a_n-1（1+0.5%）-x，a₀=50            …（5分）
a_n+k=1.005（a_n-1+k）
a_n=1.005a_n-1+0.005k
所以 k=-200x，{ a_n-200x }是公比為1.005的等比數(shù)列      …（8分）
即  a_n-200x=（a₀-200x）•1.005ⁿ．
由a₃₆₀=0得     0-200x=（50-200x）•1.005³⁶⁰．…（13分）
利用計(jì)算器可以求得  x=0.299775萬(wàn)元，即每月還款2997.75元…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，以及求通項(xiàng)構(gòu)造法是常用的方法，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．