Question

數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n（n∈N^*）
（1）是否存在常數(shù)λ、u，使得數(shù)列{a_n+λn²+um}是等比數(shù)列，若存在，求出λ、u的值，若不存在，說明理由．
（2）設b_n=，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，證明：當n≥2時，＜Sn＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）設a_n+1=2a_n-n²+3n，a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ，由題設導出a_n+1=2a_n-n²+3n．存在λ=-1，μ=1使得數(shù)列{an+λn²+μn}是等比數(shù)列．
（2）an=2^n-1+n²-n，，當n≥3時，由得S=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞，由此能夠?qū)С霎攏≥2時，＜Sn＜．
解答：（1）解：設a_n+1=2a_n-n²+3n，
可化為a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=2（a_n-λn²+μn），
即a_n+1=2a_n-λn²+（μ-2λ）n-λ-μ（2分）
故  解得（4分）
∴a_n+1=2a_n-n²+3n
可化為（5分）
又a₁+1²+1≠0（6分）
故存在λ=-1，μ=1  使得數(shù)列{an+λn²+μn}是等比數(shù)列（7分）

（2）證明：由（1）得an-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1
∴an=2^n-1+n²-n，
故（8分）
∵（9分）
∴n≥2時，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1

=（11分）
現(xiàn)證（n≥2）．
當n=2時  S_n=b₁+b₂=
而，，
故n=2時不等式成立（12分）
當n≥3時，由得
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＞
=1-，且由2n+1＞6   得1＞，
∴（14分）
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意計算能力的培養(yǎng)．