Question

第16屆亞運會將于2010年11月在廣州市舉行，射擊隊運動員們正在積極備戰(zhàn)．若某運動員每次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率為

1

3

．求該運動員在5次射擊中．
（1）恰有3次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率；
（2）至少有3次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率；
（3）記“射擊成績?yōu)?0環(huán)的次數(shù)”為ξ，求Eξ．（結果用分數(shù)表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)某運動員每次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率為

1

3

．故該運動員在5次射擊中，恰有3次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率為

C

3 5

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)2，計算后，即可得到答案．
（2）至少有3次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率為，P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）分別計算出P（X=3），P（X=4），P（X=5）代入即可得到答案．
（3）我們列出隨機變量X的分布列，然后代入數(shù)學期望公式，即可求出答案．

解答：解：設隨機變量X為射擊成績?yōu)?0環(huán)的次數(shù)，則X～B(5，

1

3

)．（2分）
（1）在5次射擊中，恰有3次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率為：P(x=3)=

C

3 5

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)2=10×

1

27

×

4

9

=

40

243

（4分）
（2）在5次射擊中，至少有3次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率為：P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）+P（X=5）（6分）
=

C

3 5

×(

1

3

)3×(1-

1

3

)2+

C

4 5

×(

1

3

)4×(1-

1

3

)+

C

5 5

×(

1

3

)5×(1-

1

3

)0=

40

243

+

10

243

+

1

243

=

17

81

．（8分）
（3）隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

故E(X)=0×

32

243

+1×

80

243

+2×

80

243

+3×

40

243

+4×

10

243

+5×

1

243

=

5

3

（12分）

點評：本小題主要考查隨機變量的分布列．二項分布．數(shù)學期望等知識，考查或然與必然的數(shù)學思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力．運算求解能力和應用意識，其中正確的分析出滿足條件的基本事件，并做到不重分，不漏分是解答此類問題的關鍵．