如圖，點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，其中A（-6，0），F(xiàn)（4，0），點P在橢圓上且位于x軸上方，
PA
•
PF
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；
（Ⅱ）求點P的坐標；
（Ⅲ）若過點F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于D，E兩點，求△ADE的面積．
分析：（I）確定a，c的值，即可求出橢圓的離心率，及橢圓的方程；
（II）利用點P在橢圓上且位于x軸上方，
PA
•
PF
=0，即可求出P的坐標；
（III）直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合三角形的面積公式，可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意知a=6，c=4，∴e=
c
a
=
4
6
=
2
3
…（1分）
∴b2=a2-c2=36-16=20…（2分）
∴橢圓方程為
x2
36
+
y2
20
=1…（3分）
（Ⅱ）設(shè)點P的坐標是（x，y），則
AP
=(x+6，y)，
FP
=(x-4，y)…（4分）
由已知得
x2
36
+
y2
20
=1
(x+6)(x-4)+y2=0
…（5分）
則2x2+9x-18=0，x=
3
2
或x=-6…（7分）
由于y＞0，只能x=
3
2
，于是y=
5
2
3
…（8分）
所以點P的坐標是(
3
2
，
5
2
3
)…（9分）
（Ⅲ）∵l的傾斜角為45°，∴l(xiāng)的斜率k=1
∴l(xiāng)：y=x-4⇒x=y+4，
若設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2）…（10分）
聯(lián)立：
5x2+9y2-5×36=0
x=y+4
⇒7y2+20y-50=0，…（11分）
則|y1-y2|=
(20)2+4×7×50
7
=
30
2
7
…（12分）
顯然S△ADE=S△AFD+S△AFE=
1
2
|AF|×|y1-y2|=
1
2
×10×
30
2
7
=
150
2
7

∴△ADE的面積為
150
2
7
．…（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點A，B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1的長軸的左右端點，點F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為：
3
x+y-4
3
=0且PA⊥PF．
（1）求直線AP的方程；
（2）設(shè)點M是橢圓長軸AB上一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，點A、B分別是橢圓
x2
36
+
y2
20
=1的長軸的左、右端點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，直線PF的方程為
3
x+y-3
2
=0，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直線PA的方程；
（Ⅱ）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山西大學附中高三上學期10月月考數(shù)學卷 題型：解答題

如圖，點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，．

（1）求點P的坐標；

（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值．

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：寧德三縣市2010高三第二次聯(lián)考文科數(shù)學試題 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，點A，B分別是橢圓的長軸的左右端點，點F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為：且。

⑴求直線AP的方程；

⑵設(shè)點M是橢圓長軸AB上一點，點M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到

點M的距離d的最小值

 

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