Question

已知公比q為正數(shù)的等比數(shù)列a_n的前n項和為S_n，且5s₂=4s₄．
（Ⅰ）求q的值．
（Ⅱ）若b_n=q+s_n-1，（n≥2，n∈N^*）且數(shù)列b_n也為等比數(shù)列，求數(shù)列（2n-1）b_n的前n項和T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）若q=1，則5S₂=10a₁，4S₄=16a₁，∵a₁≠0，
∴5S₂≠4S₄，不合題意．（2分）
若q≠1，由5S₂=4S₄得，
∴，又q＞0，
∴．．（5分）
（Ⅱ），（7分）
由b_n為等比數(shù)列知：，得，
∴．（9分）
則①
②
兩式相減化簡得T_n=3-（12分）
分析：（I）分q=1，q≠1兩種情況，利用等比數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化可得關(guān)于首項a₁和公比q的方程，從而可得a₁與q，可得答案，（II）由（I）代入可得b_n=，由題意結(jié)合等比數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)可得，從而可求a₁，進一步求出b_n，由于（2n-1）•b_n是等差數(shù)列與等比數(shù)列的積，適合用錯位相減求和．
點評：（I）等比數(shù)列的通項公式與前n和公式之間的關(guān)系關(guān)鍵在于熟練的應(yīng)用公式，確定基本量之間的關(guān)系，而等比數(shù)列的求和公式時，要注意對公比q=1和q≠1的討論
（II）熟練掌握等比數(shù)列通項公式的結(jié)構(gòu)是解決此問題的關(guān)鍵，求和的方法關(guān)鍵在于通項，若數(shù)列a_n•b_n中a_n為等差數(shù)列，b_n為等比數(shù)列，對該數(shù)列求和用錯位相減．