Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG=4，AG=

1

3

GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；
（2）求點(diǎn)D到平面PBG的距離；
（3）若F點(diǎn)是棱PC上一點(diǎn)，且DF⊥GC，求

PF

FC

的值．

Answer 1

分析：（1）以G點(diǎn)為原點(diǎn)，GB，GC，GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出兩條異面直線對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)兩個(gè)向量的所成的角確定異面直線所成的角．
（2）計(jì)算點(diǎn)到面的距離，需要先做出面的法向量，在法向量與點(diǎn)到面的一個(gè)點(diǎn)所成的向量之間的運(yùn)算，得到結(jié)果．
（3）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩條線段垂直，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積等于0，解出點(diǎn)到坐標(biāo)，根據(jù)向量的模長(zhǎng)之比等于線段之比，得到結(jié)果．

解答：解：（1）以G點(diǎn)為原點(diǎn)，GB，GC，GP為x軸、y軸、
z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C（0，2，0），

P（0，0，4），故E（1，1，0）

GE

=（1，1，0），

PC

=（0，2，4）．
cosθ=

GE • PC

| GE || PC |

=

10

10

，
∴GE與PC所成的余弦值為

10

10

（2）平面PBG的單位法向量

n

=（0，±1，0）
∵

GD

=

3

4

 

AD

 =

3

4

BC

=(-

3

2

，

3

2

，0)，
∴點(diǎn)D到平面PBG的距離為|

GD

•

n

|=

3

2

（3）設(shè)F（0，y，z），則

DF

=(0，y，z)-(-

3

2

，

3

2

，0)=(

3

2

，y-

3

2

，z)
∵

DF

⊥

GC

，
∴(

3

2

，y-

3

2

，z)(0，20)=2y-3=0，
∴y=

3

2

，又

PF

=λ

PC

，即（0，

3

2

，z-4）=λ（0，2，-4），∴z=1，
故F（0，

3

2

，1），

PF

=(0，

3

2

，-3)，

FC

=(0，

1

2

，-1)，
∴

PF

FC

=

2 5 2

5 2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何量的計(jì)算，準(zhǔn)確把握立體幾何的最新發(fā)展趨勢(shì)：這樣可以減低題目的難度，堅(jiān)持向量法與公理化法的“雙軌”處理模式，在復(fù)習(xí)備考時(shí)應(yīng)引起高度注意．