Question

已知函數(shù)m（x）=2ax²，，且函數(shù)h（x）在時取極大值，若f（x）=h（x）+m（x）
（1）當(dāng)時，求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（2）令g（x）=ln（x+1）+3-f'（x），若g（x）在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)求導(dǎo)可得：h′（x）=-2x²+b
∵函數(shù)h（x）在時取極大值，
∴
∴b=3
∴
∴f（x）=h（x）+m（x）=
當(dāng)時，f（x）=
∴f′（x）=-（2x-3）（x+1）
令f′（x）＞0，-2≤x≤2，可得-1＜x＜；令f′（x）＜0，-2≤x≤2，可得＜x≤2或-2≤x＜-1；
∴當(dāng)x=-1時，f（x）極小值，當(dāng)時，f（x）取極大值（6分）
而
∴在[-2，2]上，當(dāng)x=-1時，；當(dāng)時，（7分）
（2）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+3-（-2x²+3+4ax）=ln（x+1）+2x²-4ax
求導(dǎo)函數(shù)，可得（8分）
在上，x+1＞0
∵g（x）在單調(diào)遞增．
∴g′（x）＞0，∴，即
∴
∵在上，
∴a≤0
∴實數(shù)a的取值范圍a≤0
分析：（1）根據(jù)函數(shù)h（x）在時取極大值，可求得，從而可得當(dāng)時，f（x）=，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值與端點函數(shù)值比較，即可得到函數(shù)的最大值和最小值；
（2）g（x）=ln（x+1）+3-f′（x）=ln（x+1）+3-（-2x²+3+4ax）=ln（x+1）+2x²-4ax，求導(dǎo)函數(shù)，利用g（x）在單調(diào)遞增，可得，根據(jù)在上，，即可求得實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是分離參數(shù)，屬于中檔題．