Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為

1. A.
   a＜或a＞2
2. B.
   ＜a＜2
3. C.
   a＜2
4. D.
   a＞

Answer 1

B
分析：先利用已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)求出在區(qū)間[0，2]上的解析式，再利用周期性f（x）=f（x+4）求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]上的解析式，然后在畫(huà)出圖象，進(jìn)而求出a的取值范圍．
解答：設(shè)x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，∴f（-x）==2^x-1，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵對(duì)任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，（x-4）∈[-2，0]，∴f（x）=f（x-4）=；
及當(dāng)x∈[4，6]時(shí)，（x-4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上恰有三個(gè)交點(diǎn)，
通過(guò)畫(huà)圖可知：恰有三個(gè)交點(diǎn)的條件是解得．
因此所求的a的取值范圍為．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)的交點(diǎn)及方程的根，熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．