Question

設(shè)f（x）=

a

ex

+blnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=x+1，求a，b的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=e，b=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，求出a、b的值；
（Ⅱ）a=e，b=1時(shí)，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)判定f（x）的單調(diào)區(qū)間，利用單調(diào)性求出f（x）的極小值．

解答： 解：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)，得f′(x)=

b

x

-

a

ex

；
由f′(1)=b-

a

e

=1，f(1)=

a

e

=1+1=2，
解得a=2e，b=3；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
當(dāng)a=e，b=1時(shí)，f(x)=

e

ex

+lnx，f′(x)=

1

x

-

e

ex

=

ex-ex

xex

；
令g（x）=e^x-ex，求導(dǎo)得g'（x）=e^x-e；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g'（x）＜0，則f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，則f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），減區(qū)間是（0，1）；
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值f（1）=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性，并且利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)的極值，是綜合性題目．