Question

【題目】已知邊長(zhǎng)為的等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)：（）上.

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn)，交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若.證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn).

【解析】

（1）利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，可知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)方程，求出值，進(jìn)而得解；

（2先求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)出直線(xiàn)的方程，求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程，得到，，然后進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡(jiǎn)，并將韋達(dá)定理代入，可得，求出的值，進(jìn)而得解.

（1），

因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于原點(diǎn)，

另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)：（）上，

并且，該拋物線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，

所以點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，

所以，解得，

所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為.

（2）證明：由（1）得拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的方程為.

設(shè)直線(xiàn)的方程為（），

令，解得，所以，

，解得，所以，

由得，得，其中.

設(shè)，，則，，

則，，

，，

.

由，得，解得，

所以直線(xiàn)的方程為，因此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).