如圖,設(shè)橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左右焦點分別為,線段的中點分別為,且△ 是面積為4的直角三角形.

(Ⅰ)求該橢圓的離心率和標(biāo)準方程；

(Ⅱ)過做直線交橢圓于P,Q兩點,使,求直線的方程.

 

【答案】

（I）所求橢圓的標(biāo)準方程為:  

(2)滿足條件的直線有兩條,其方程分別為:和

【解析】(I) 設(shè)所求橢圓的標(biāo)準方程為，因是直角三角形,又,故為直角,因此,得.又因為,消去b可得a,c的一個等式關(guān)系，從而可求出離心率，再利用,求出b，進而可得到a的值，橢圓方程確定.

(II) 由(1)知,由題意知直線的傾斜角不為0,故可設(shè)直線的方程為:,代入橢圓方程得,

因為,所以 

 =0

然后借助韋達定理代入上式可得關(guān)于m的方程求出m值，得到直線l的方程

 

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•重慶）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準方程；
（Ⅱ）過B1做直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•重慶）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準方程；
（Ⅱ）過B1作直線交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年山東省高三高考壓軸理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．

(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準方程；

(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考真題 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準方程；
（2）過B1做直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年云南省昆明市官渡二中高三（上）第二次段考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準方程；
（Ⅱ）過B1做直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．

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