Question

已知f（x）=e^x+2ax（a為常數(shù)），曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線與直線x-y-3=0垂直．
（Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時，e^x＞x²；
（Ⅲ）設(shè)F（x）=f（x）-e^x+

1

3

x3+mx2+1，若F（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出切線的斜率，再利用垂直關(guān)系得到斜率間的關(guān)系，從而求出參數(shù)a的值，由導(dǎo)函數(shù)值 的正負(fù)判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）將原不等式轉(zhuǎn)化成一個函數(shù)值為正的問題，通過導(dǎo)函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最小值為正，得到本題結(jié)論；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞減的特征，得到導(dǎo)函數(shù)滿足的條件，從而求出實數(shù)m的取值范圍，得到本題結(jié)論．

解答： 解（Ⅰ）由題意知，曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為-1．
由f（x）=e^x+2ax，得f'（x）=e^x+2a，
∴f'（0）=1+2a=-1，
得a=-1
∴f（x）=e^x-2x，f'（x）=e^x-2
令f'（x）=0，得x=ln2
當(dāng)x＜ln2時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞ln2時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ln2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，ln2）．
（Ⅱ）令g（x）=e^x-x²，則g'（x）=e^x-2x
由（Ⅰ）知，f（x）的極小值即最小值[f（x）]_min=f（ln2）=2-2ln2＞0，
∴g'（x）=f（x）＞0，
故g（x）在R上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)x＞0時，g（x）＞g（0）=1＞0，即e^x＞x²．
（Ⅲ）由題意知，F(x)=

1

3

x3+mx2-2x+1，
∵F（x）在（1，3）上單調(diào)遞減，
∴F'（x）=x²+2mx-2≤0在（1，3）恒成立，
∴F′（x）圖象過點（0，-2），
∴

F′(1)=1+2m-2≤0 F(3)=9+6m-2≤0

，
m≤-

7

6

，
所以滿足實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-

7

6

）．

點評：本題考查了導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值之間的關(guān)系，本題難度適中，屬于中檔題．