Question

2011年10月17日，永春一中隆重的舉行105周年校慶，為了搞好接待工作，校慶組委會在高三年級招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高編成如圖的莖葉圖（單位：cm）．男生身高在175 cm以上（包括175 cm）定義為“高個子”，身高在175 cm以下（不包括175 cm）定義為“非高個子”，女生身高在170 cm以上（包括170 cm）定義為“高個子”，身高在170 cm以下（不包括170 cm）定義為“非高個子”且只有“女高個子”才擔(dān)任“禮儀小姐”．
（Ⅰ）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中提取4人，再從這4人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用X表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，請寫出X的分布列，并求X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由題意及莖葉圖，有“高個子”15人，“非高個子”15人，利用用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是

4

30

，利用對立事件即可；
（II）由于從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔(dān)任“禮儀小姐”的人數(shù)，利用離散型隨機(jī)變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，3在利用古典概型的概率公式求出每一個值對應(yīng)事件的概率，有期望的公式求出即可．

解答：解：（I）根據(jù)莖葉圖，有“高個子”15人，“非高個子”15人，
用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是

4

30

=

2

15

，
所以選中的“高個子”有15×

2

15

=2人，“非高個子”有15×

2

15

=2人．
用事件A表示“至少有一名“高個子”被選中”，則它的對立事件

.

A

表示“沒有一名“高個子”被選中”，
則P（A）=1-

C 3 2

C 2 4

=

5

6

．
因此，至少有一人是“高個子”的概率是

5

6

．
（II）依題意，X的取值為0，1，2，3．　　　　　　　　　　
P（X=0）=

C 3 8

C 3 15

=

8

65

，P（X=1）=

C 2 8 C 1 7

C 3 15

=

28

65

，P（X=2）=

C 1 8 C 2 7

C 3 15

=

24

65

，P（X=3）=

C 3 7

C 3 15

=

1

13

．
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2	3
p	8 65	28 65	24 65	1 13

∴EX=0×

8

65

+1×

28

65

+2×

24

65

+3×

1

13

=

7

5

．

點評：本題主要考查莖葉圖、分層抽樣、隨機(jī)事件的概率、對立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識．