Question

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

x

x+1

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)a與b，恒有lna-lnb≥1-

b

a

．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)f（x）的定義域，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）欲求在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．
（3）所證不等式等價(jià)為ln

a

b

+

b

a

-1≥0，而f(x)=ln(1+x)+

1

x+1

-1，設(shè)t=x+1，則F(t)=lnt+

1

t

-1，由（1）結(jié)論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，從而得到證明．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=ln(x+1)-

x

x+1

∴f′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x) 2

，
由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間（-1，0）
（2）f′(x)=

1

x+1

-

1

(1+x) 2

，
當(dāng)x=1時(shí)，y'=

1

4

得切線的斜率為

1

4

，所以k=

1

4

；
所以曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：
y-ln2+

1

2

=

1

4

×（x-1），即x-4y+4ln2-3=0．
故切線方程為 x-4y+4ln2-3=0
（3）所證不等式等價(jià)為ln

a

b

+

b

a

-1≥0
而f(x)=ln(1+x)+

1

x+1

-1，設(shè)t=x+1，則F(t)=lnt+

1

t

-1，
由（1）結(jié)論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
由此F（t）_min=F（1）=0，
所以F（t）≥F（1）=0即F(t)=lnt+

1

t

-1≥0，
記t=

a

b

代入得：
lna-lnb≥1-

b

a

得證．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．