Question

生產(chǎn)A，B兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于82為正品，小于82為次品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

測(cè)試指標(biāo)	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
元件A	8	12	40	32	8
元件B	7	18	40	29	6

（Ⅰ）試分別估計(jì)元件A，元件B為正品的概率；
（Ⅱ）生產(chǎn)一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元．在（Ⅰ）的前提下，
（�。┯沊為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（ⅱ）求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于140元的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）查出正品數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出；
（Ⅱ）（i）生產(chǎn)1件元件A和1件元件B可以分為以下四種情況：兩件正品，A次B正，A正B次，A次B次，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及數(shù)學(xué)期望的定義即可得出；
（ii）先求出生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于140元的正品數(shù)，再利用二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）元件A為正品的概率約為

40+32+8

100

=

4

5

．              
元件B為正品的概率約為

40+29+6

100

=

3

4

．                
（Ⅱ）（�。�∵生產(chǎn)1件元件A和1件元件B可以分為以下四種情況：兩件正品，A次B正，A正B次，A次B次．
∴隨機(jī)變量X的所有取值為90，45，30，-15．           
∵P（X=90）=

4

5

×

3

4

=

3

5

；P（X=45）=(1-

4

5

)×

3

4

=

3

20

；P（X=30）=

4

5

×(1-

3

4

)=

1

5

；
P（X=-15）=(1-

4

5

)×(1-

3

4

)=

1

20

．
∴隨機(jī)變量X的分布列為：
EX=90×

3

5

+45×

3

20

+30×

1

5

+(-15)×

1

20

．           
（ⅱ）設(shè)生產(chǎn)的5件元件B中正品有n件，則次品有5-n件．
依題意得 50n-10（5-n）≥140，解得 n≥

19

6

．
所以 n=4或n=5．                                   
設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于140元”為事件A，
則P（A）=

C

4 5

(

3

4

)4×

1

4

+(

3

4

)5=

81

128

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握分類(lèi)討論的思想方法、古典概型的概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望的定義、二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．