Question

設(shè)籃球隊(duì)A與B進(jìn)行比賽，若有一隊(duì)先勝4場(chǎng)則宣告比賽結(jié)束，假定A、B在每場(chǎng)比賽中獲勝的概率都為0.5．試求需要比賽場(chǎng)數(shù)的平均值．

Answer 1

分析：由題意知比賽場(chǎng)數(shù)ξ的可能取值是4、5、6、7，若4場(chǎng)結(jié)束，只有兩種情況；若5場(chǎng)結(jié)束，且A勝出，則A負(fù)2場(chǎng)，A所負(fù)一場(chǎng)不可能是第5場(chǎng)，只可能是前4場(chǎng)中某一場(chǎng)，共有4種情況；若B勝出，亦有4種情況．若6場(chǎng)結(jié)束，且A勝出，則A負(fù)2場(chǎng)，共有10種情況；若7場(chǎng)結(jié)束，且A勝出，則A負(fù)3場(chǎng)，共有20種情況，列出分布列，得到期望．

解答：解：由題意知比賽場(chǎng)數(shù)ξ的可能取值是4、5、6、7
若4場(chǎng)結(jié)束，只有兩種情況：A四場(chǎng)連勝或連負(fù)，每種情況發(fā)生的概率是(

1

2

)4
∴總概率為

1

8

；
若5場(chǎng)結(jié)束，且A勝出，則A只負(fù)1場(chǎng)，A所負(fù)一場(chǎng)不可能是第5場(chǎng)，只可能是前4場(chǎng)中某一場(chǎng)，共有4種情況；
同樣，若B勝出，亦有4種情況．
每種情況發(fā)生的概率是(

1

2

)5，總概率為

1

4

；
若6場(chǎng)結(jié)束，且A勝出，則A負(fù)2場(chǎng)，共有10種情況，
若B勝出，亦有10種情況．
每種情況發(fā)生的概率是(

1

2

)6總概率為

5

16

；
若7場(chǎng)結(jié)束，且A勝出，則A負(fù)3場(chǎng)，共有20種情況，
若B勝出，亦有20種情況．
每種情況發(fā)生的概率是(

1

2

)7，總概率為

5

16

．
∴比賽場(chǎng)次的數(shù)學(xué)期望=4×

1

8

+5×

1

4

 +6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

即Eξ=

93

16

≈6場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解答一些簡單的實(shí)際問題． 能進(jìn)行一些與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布有關(guān)概率的計(jì)算．