圓C:(x-1)2+(y-2)2=25內(nèi)有一點P(3,1),l為過點P且傾斜角為α的直線.
(1)若α=
4
,求直線l與圓C相交弦的弦長;
(2)求直線l被圓C截得的弦長度最短時,直線l的方程.
分析:(1)由直線的傾斜角的度數(shù),根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系:傾斜角的正切值等于直線的斜率,得到直線l的斜率,再由直線過P,由P的坐標和求出的斜率寫出直線的方程,利用點到直線的距離公式求出圓心C到直線l的距離即為弦心距,由弦心距及圓的半徑,利用勾股定理求出弦長的一半,乘以2即可得到弦的長;
(2)根據(jù)直線l與直線PC垂直時,直線l被圓C截得的弦最短,根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1,由直線CP的斜率求出直線l的斜率,再根據(jù)直線l過P點,由P的坐標和求出的斜率寫出直線l的方程即可.
解答:解:(1)α=
4
kl=-1
,
直線l的方程:y-1=-(x-3)即x+y-4=0
點C(1,2)到直線l的距離d=
|1+2-4|
2
=
2
2
,又圓C的半徑為5,
則直線l與圓C相交弦的弦長為:2
52-(
2
2
)
2
=7
2
;
(2)當直線l與直線CP垂直時,直線l被圓C截得的弦長度最短.kCP=-
1
2
kl=2

∴直線l的方程:2x-y-5=0.
點評:此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識有:直線傾斜角與斜率的關(guān)系,兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系,直線的點斜式方程,點到直線的距離公式,垂徑定理以及勾股定理,當直線與圓相交時,常常利用弦心距,弦長的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理來解決問題.
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在平面直角坐標系中,已知點A ( 
1
2
 , 0 )
,點B在直線l:x=-
1
2
上運動,過點B與l垂直的直線和AB的中垂線相交于點M.
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x2
2
+y2=1
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(2)橢圓上有兩點M、N,若M、N滿足
OM
+
ON
=
0
MF1
F1F2
=0
(點M在x軸上方),問:圓C'上是否存在一點Q,使MQ⊥NQ?若存在,求出Q點的坐標,若不存在,請說明理由.

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