Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex

x2

-k（

2

x

+lnx）（k為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)k=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)k=0時，函數(shù)f（x）=

ex

x2

（x≠0）．f′（x）=

x(x-2)ex

x4

．分別令f′（x）＞0，f′（x）＜0，解出x的取值范圍即可．
（2）函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，?f′（x）=0有兩個實數(shù)根．化為k=

ex

x

，因此k=

ex

x

在（0，2）內(nèi)存在兩個實數(shù)根．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)k=0時，函數(shù)f（x）=

ex

x2

（x＞0）．
f′（x）=

x(x-2)ex

x4

．
令f′（x）＞0，解得x＞2．令f′（x）＜0，解得0＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；在（0，2）上單調(diào)遞減．
（2）∵函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個極值點，
∴f′（x）=

(x-2)ex

x3

-k(-

2

x2

+

1

x

)=0有兩個實數(shù)根．
化為k=

ex

x

，
∴k=

ex

x

在（0，2）內(nèi)存在兩個實數(shù)根．
設(shè)h（x）=

ex

x

，x∈（0，2）．則h′（x）=

(x-1)ex

x2

．
令h′（x）=0，解得x=1．
令h′（x）＞0，解得1＜x＜2；令h′（x）＜0，解得0＜x＜1．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)h（x）取得極小值即最小值，h（1）=e．
而h（2）=

e2

2

，h（0）→+∞．
∴e＜k＜

e2

2

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了方程的實數(shù)根等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．