如圖，所有棱長都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點．
（1）求證：C′E∥面AB′D′；
（2）求面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值；
（3）求四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分體積．
證明：（1）如圖取B'D'的中點為F，連AF，C′F，
易得AFC′F為平行四邊形．
∴AF∥C'E，
又AF?平面AB′D′，
∴C′E∥面AB′D′..（4分）
（2）因ABCD為菱形，且∠DCB=60°，取BC中點為G
易得AD，DG，DD’相互垂直，故分別以之為x，y，z軸建立坐標系如圖．
由棱長為2得A(2，0，0)，B′(1，
3
，2)，D′(0，0，2)
進而得面ADD'的一個法向量為(1，-
3
3
，1)，又面ABD的法向量為（0，0，1）
所以面AB'D'與面ABD所成銳二面角的余弦值
cosθ=
(1，-
3
3
，1)•(0，0，1)
21
3
=
21
7

（3）設B’D與BD的交點為O，
由圖得四棱錐B'-ABCD與D'-ABCD的公共部分為四棱錐O-ABCD，
且O到下底面的距離為1，
SABCD=2×
1
2
×2×2sin600=2
3

所以公共部分的體積為
1
3
×2
3
×1=
2
3
3
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）設PD的中點為M，求證：AM∥平面PBC；
（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在線段AM上是否存在點P，使二面角P-EC-D的大小為
π
6
？若存在，求出AP的長h；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DEG；
（Ⅱ）求二面角C-DF-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體AC1中，AB=BC=2，AA1=
2
，點E、F分別是面A1C1、面BC1的中心．
（1）求異面直線AF和BE所成的角；
（2）求直線AF和平面BEC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=
π
2
，且AB=BC=2AD=2，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等邊三角形．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求二面角B-PC-D的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

四棱錐S-ABCD，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2
2
，SB=SC=AB=2，F(xiàn)為線段SB的中點．
（Ⅰ）求證：SD∥平面CFA；
（Ⅱ）求面SCD與面SAB所成二面角大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

在ABCD中，錯誤的式子是(     ) 
A．B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，已知=a，=b，，用a，b表示，則＝(　　)
A．a(chǎn)＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b

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