Question

如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設(shè)計要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)，并寫出定義域；
（2）若，求此時管道的長度L；
（3）當(dāng)θ取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點(diǎn)，易得，，，由污水凈化管道的長度L=EH+FH+EF，則易將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數(shù)．
（2）若，結(jié)合（1）中所得的函數(shù)解析式，代入易得管道的長度L的值．
（3）污水凈化效果最好，即為管道的長度最長，由（1）中所得的函數(shù)解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，易得結(jié)論．
解答：解：（1），，
．
由于，，
所以，
所以．
所以，．
（2）當(dāng)時，
，
（米）．
（3），
設(shè)sinθ+cosθ=t，
則，
所以．
由于，
所以．
由于在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)即或時，
L取得最大值米．
答：當(dāng)或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為米．
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型及解三角形，根據(jù)已知條件構(gòu)造出L關(guān)于θ的函數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．