Question

（2012•濟(jì)南三模）已知直線l：y=x+1，圓O：x2+y2=

3

2

，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)相等，橢圓的離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（0，-

1

3

）的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得無(wú)論l如何轉(zhuǎn)動(dòng)，以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)可知b=1，利用e=

3

2

，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）先猜測(cè)T的坐標(biāo)，再進(jìn)行驗(yàn)證．若直線l的斜率存在，設(shè)其方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可證得．

解答：解：（Ⅰ）則由題設(shè)可知b=1，（2分）
又e=

3

2

，∴

a2-1

a2

=

3

4

，∴a²=4      （3分）
所以橢圓C的方程是

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）若直線l與y軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1①
若直線l垂直于y軸，則以AB為直徑的圓是x2+(y+

1

3

)2=

16

9

  ②…（6分）
由①②解得

x=0 y=1

．
由此可知所求點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1）．…（7分）
事實(shí)上點(diǎn)T（0，1）就是所求的點(diǎn)．證明如下：
當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l與y軸重合時(shí)，以AB為直徑的圓為x²+y²=1，過(guò)點(diǎn)T（0，1）；
當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為y=kx-

1

3

，代入橢圓方程，并整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0（8分）
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

12k

18k2+9

，x₁x₂=

-16

18k2+9

∵

TA

=（x₁，y₁-1），

TB

=（x₂，y₂-1）
∴

TA

•

TB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（k²+1）x₁x₂-

4

3

（x₁+x₂）+

16

9

=

-16k2-16-16k2+32k2+16

18k2+9

=0
∴

TA

⊥

TB

，即以AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)T（0，1）．…（11分）
綜上可知，在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T（0，1）滿足條件．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．