已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M(2，l)，平行于OM的直線l交橢圓于A，B兩點．
(Ⅰ)求橢圓的方程：
(Ⅱ)已知e=(t，0)，是否對任意的正實數(shù)t，λ，都有e·p=0成立？請證明你的結論。
解：(Ⅰ)設橢圓方程為，
則，解得：，
∴橢圓的方程為。
(Ⅱ)若成立，
則向量與x軸垂直，
由菱形的幾何性質知，∠AMB的平分線應與x軸垂直，為此只需考查直線MA，MB傾斜角是否互補即可。
由已知，設直線l的方程為：y=x+m，
由，∴，
設直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，
設，
則，
由可得，，
而


，
∴k1+k2=0，直線MA，MB的傾斜角互補。
故對任意的正實數(shù)t，λ，都有成立。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為
2
2
，且橢圓經(jīng)過圓C：x2+y2-4x+2
2
y=0的圓心C．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點O，焦點在坐標軸上，直線y=2x+1與該橢圓相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
1011
，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸，左焦點為F1（-3，0），右準線方程為x=
253
．
（1）求橢圓的標準方程和離心率e；
（2）設P為橢圓上第一象限的點，F(xiàn)2為右焦點，若△PF1F2為直角三角形，求△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，且橢圓過點P（3，2），焦點在坐標軸上，長軸長是短軸長的3倍，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的中心在原點，一個焦點F1（0，-2
2
），且離心率e滿足：
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓方程；
（2）直線y=x+1與橢圓交于點A，B．求△AOB的面積．

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