Question

求f（x）=x²-2tx+2在[1，2]上的最小值g（t）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將函數(shù)配方，確定函數(shù)的對稱軸，再利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，進行分類討論，從而可求函數(shù)f（x）=x²-2tx+2在[1，2]上的最小值g（t）．

解答： 解：f（x）=x²-2tx+2=（x-t）²+2-t²，函數(shù)的對稱軸是x=t，開口向上，
①當t＜1時，函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）的最小值為f（t）=f（1）=3-2t；
②當1≤t≤2時，函數(shù)在區(qū)間[1，t]上單調(diào)減，在區(qū)間[t，2]上單調(diào)增，
∴f（x）的最小值為f（t）=2-t²；
③當t＞2時，函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)減，
∴f（x）的最小值為f（2）=6-4t．
綜上可知，f（x）的最小值為g（t）=

3-2t，t＜1 2-t2，1≤t≤2 6-4t，t＞2

．

點評：本題重點考查二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值問題，解題的關(guān)鍵是正確配方，確定函數(shù)的對稱軸，利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，進行分類討論．