Question

已知橢圓的左頂點是A，過焦點F（c，0）（c＞0，為橢圓的半焦距）作傾斜角為θ的直線（非x軸）交橢圓于M，N兩點，直線AM，AN分別交直線（稱為橢圓的右準(zhǔn)線）于P，Q兩點．
（1）若當(dāng)θ=30°時有，求橢圓的離心率；
（2）若離心率e=，求證：為定值．

Answer 1

解：（1）如圖，作MM₁，NN₁垂直準(zhǔn)線于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，
設(shè)|NF|=m，則|FM|=3m，根據(jù)橢圓的第二定義有：
，，∴，
在Rt△NMH中，∠NMH=30°，
∴=cos30°，
解得e=．
（2）當(dāng)時，，
則橢圓方程化為：x²+2y²-2c²=0，
準(zhǔn)線：x=，
設(shè)MN的方程為x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），
由A，M，P三點共線，得，，
由A，N，Q三點共線，得Q（），，
，①
把x=ty+c代入x²+2y²-2c²=0，得（2+t²）y²+2cty-c²=0，
，
∴，②

=
=
=
=．③
∵a=，
∴將②③代入①，整理得=0．
分析：（1）作MM₁，NN₁垂直準(zhǔn)線于M₁，N₁，NH垂直MM₁于H，設(shè)|NF|=m，則|FM|=3m，根據(jù)橢圓的第二定義有：，，故，在Rt△NMH中，∠NMH=30°，由此能求出e．
（2）當(dāng)時，，則橢圓方程化為：x²+2y²-2c²=0，準(zhǔn)線：x=，設(shè)MN的方程為x=ty+c，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（2c，y_P），Q（2c，y_Q），由A，M，P三點共線，得，，由A，N，Q三點共線，得Q（），，由此能夠證明為定值．
點評：本題考查橢圓方程的求法和向量數(shù)量積為定值的證明，具體涉及到橢圓的簡單性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，橢圓的離心率等基本知識的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．