Question

10．已知三棱錐P-ABC的各頂點(diǎn)都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的體積為$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$（球的體積公式為$\frac{4π}{3}$R³，其中R為球的半徑），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則三棱錐P-ABC的體積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 如圖所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，利用余弦定理可得：BC=$\sqrt{3}$，利用勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°．取AB的中點(diǎn)D，則球心O滿足OD⊥平面ABC．又PA⊥平面ABC，可得三棱錐P-ABC的外接球的球心O為PB的中點(diǎn)．OD=$\frac{1}{2}$PA．由球的體積計(jì)算公式可得：$\frac{4π}{3}$R³=$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$，解得R．OD=$\sqrt{{R}^{2}-A{D}^{2}}$，利用三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×$PA即可得出．

解答 解：如圖所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則BC²=2²+1²-2×1×2×cos60°=3，
解得BC=$\sqrt{3}$，∴${1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}={2}^{2}$．
∴∠ACB=90°．
取AB的中點(diǎn)D，則球心O滿足OD⊥平面ABC．
又PA⊥平面ABC，∴三棱錐P-ABC的外接球的球心O為PB的中點(diǎn)．
∴OD=$\frac{1}{2}$PA．
由球的體積計(jì)算公式可得：$\frac{4π}{3}$R³=$\frac{20\sqrt{5}π}{3}$，解得R=$\sqrt{5}$．
∴OD=$\sqrt{{R}^{2}-A{D}^{2}}$=2．
∴PA=4
∴三棱錐P-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×$PA=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×4$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了空間位置關(guān)系、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、勾股定理與逆定理、三角形中位線定理、球的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．