Question

如圖，在長方體中，，，是線段的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）

【解析】

試題分析：1.本題的模型是長方體，因此采用坐標法不失為一個好的選擇.2.本題也可以采用幾何法的方式進行求解.（Ⅰ）如圖，連接，交于，可以證明四邊形是平行四邊形，從而，進而可以證明平面.（Ⅱ）過作于，因為底面是正方形，可以證明平面，從而即為所求角.接下來解之即可.第（Ⅱ）問也可以用等積的辦法來求解．

試題解析：（Ⅰ）證明：在長方體中，

∵，，∴.

建立如圖所示的空間直角坐標系，設的中點為，連接，根據(jù)題意得，，，，，，線段的中點為，線段的中點為.

∴，   .∴.

∵平面，平面，∴.

∴平面.

（Ⅱ）解：，，，

設平面的一個法向量為，根據(jù)已知得

 取，得

∴是平面的一個法向量.

 ∴.

∴直線與平面所成角的正弦值等于.

考點：空間線面位置關系、線面平行、線面角的求法.