①②③⑤
分析:給出定義在R上的函數(shù)f(x),首先根據(jù)
,思考兩次運用該等式,能把式中的“-”去掉,求出函數(shù)周期為4;然后結(jié)合等式f(2+x)=-f(2-x),取變量x=x+2,可以推出函數(shù)f(x)為奇函數(shù);函數(shù)是奇函數(shù),若圖象關(guān)于y軸對稱,同時又是偶函數(shù),則有f(x)=0恒成立,這與已知等式不符;設(shè)出f(x)圖象上一點(x
0,y
0),說明該點關(guān)于(2,0)的對稱點也在函數(shù)圖象上,從而說明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)成中心對稱.
解答:在
中,取x=x+2,則f[(x+2)+2]=-
=-
=f(x),所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù),故命題②正確.
在f(2+x)=-f(2-x)中,取x=x+2,則有f(2+2+x)=-f[2-(2+x)]=-f(-x),即f(4+x)=-f(-x),因為函數(shù)的周期為4,所以
f(x)=-f(-x),所以,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),故命題③正確.
因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以有f(0)=0,故命題①①正確.
若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱,則函數(shù)又為偶函數(shù),所以函數(shù)解析式應(yīng)為f(x)=0,由已知條件
知f(x)不恒為0,出現(xiàn)矛盾,所以命題④不正確.
設(shè)(x
0,y
0)是函數(shù)y=f(x)的圖象上的點,則y
0=f(x
0)=-f(-x
0)=-f(4-x
0),即-y
0=f(4-x
0),
所以點(4-x
0,y
0)也在函數(shù)y=f(x)的圖象上,而(4-x
0,y
0)是(x
0,y
0)關(guān)于(2,0)的對稱點,所以命題⑤正確.
故答案為①②③⑤.
點評:本題是考查抽象函數(shù)的性質(zhì),處理這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件,有效的給變量x賦予不同的取值,從而達(dá)到轉(zhuǎn)化為要解決的問題的目的.