Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，∠ADC=$\frac{π}{3}$，
PD=PC=CD=2AB=2，PB⊥BC，E為PD的中點．
（1）求證平面PBD⊥平面ABCD； 
（2i）求直線AE與底面ABCD成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件得出△BCD中，BD=$\sqrt{3}$，運用勾股定理得出：BD⊥BC，最后運用平面與平面垂直的判定定理證明出平面PBD⊥平面ABCD即可；
（2）過點E作EG⊥BD于點G，連接AG，確定∠EAG是AE與底面ABCD所成的角，利用在Rt△BDE，Rt△PAD中求解線段即可得出sin∠EAG=$\frac{EG}{AE}$的值．

解答 證明：（1）∵底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ADC=$\frac{π}{3}$，PD=PC=CD=2AB=2，
∴△BCD中，BD=$\sqrt{3}$，
根據(jù)勾股定理得出：BD⊥BC，
又∵PB⊥BC，BD∩PB=B，
∴BC⊥平面PBD，
∵BC?平面ABCD，
∴平面PBD⊥平面ABCD；
（2）過點E作EG⊥BD于點G，連接AG，

∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，EG?平面PBD，
∴EG⊥平面ABCD，
∴∠EAG是AE與底面ABCD所成的角，
∵底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ADC=$\frac{π}{3}$，PD=PC=CD=2AB=2，
∴BC=1，BD=$\sqrt{3}$，AD=1，PB=$\sqrt{3}$，PD=2，BF=AE=1，
∵在等腰△PBD中，PB=$\sqrt{3}$，PD=2，BD=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
根據(jù)面積得出：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×$PO，求解得出；PO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△BDE中，EG=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
在Rt△PAD中，AE=1，PD=2，
∴sin∠EAG=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}}{1}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即直線AE與底面ABCD所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查了空間面面垂直以及直線和平面所成角的計算；利用空間與平面的轉(zhuǎn)化作出線面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．