Question

20、已知二次函數(shù)f（x）=x²-2（m-1）x-2m+m²，
（1）如果它的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求m的值；
（2）如果它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，寫(xiě)出該函數(shù)的解析式；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m，對(duì)x∈[1，3]上的每一個(gè)x值，都有f（x）≥3成立，若存在，求出m的范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)（0，0）代入即可得到答案．
（2）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)知一元二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，所以m-1=0可得答案．
（3）只要f（x）在x∈[1，3]上的最小值大于等于3就可以滿(mǎn)足條件．轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在區(qū)間[1，3]的最小值問(wèn)題．

解答：解：（1）過(guò)原點(diǎn)（0，0）0=-2m+m²∴m=0或2；
（2）由題意知，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，∴m-1=0∴m=1
函數(shù)解析式為：f（x）=x²-1．
（3）f（x）=[x-（m-1）]²-1
對(duì)稱(chēng)軸x=m-1
1°當(dāng)m-1＜1即m＜2時(shí)，f（x）在[1，3]上遞增，x=1時(shí)f（x）最小，f（1）=（2-m）²-1≥3∴m≥4或m≤0∴m≤0
2°：當(dāng)1≤m-1≤3，即2≤m≤4，f（x）=[x-（m-1）]²-1，最小值為-1，-1≥3不成立
3°：m-1＞3即m＞4時(shí)f（x）在[1，3]上遞減，x=3時(shí)最小    f（3）=（4-m）²-1≥3∴m≤2或m≥6
由以上可知：m≤0或m≥6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象、解析式和最值．一元二次函數(shù)是高考中必考內(nèi)容，對(duì)其滿(mǎn)足的性質(zhì)要熟練掌握．