Question

已知函數(shù)f（x）=2x²，g（x）=alnx（a＞0）．
（1）若直線l交f（x）的圖象C于A，B兩點(diǎn)，與l平行的另一條直線l₁切圖象于M，求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（其中e為無理數(shù)，約為2.71828）．

Answer 1

（1）證明：設(shè)切點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x₀，A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
因?yàn)閒′（x）=4x，所以kl=kl1=4x0；
令A(yù)B方程為y=4x₀x+b，則由

y=2x2 y=4x0x+b

消去y得2x²-4x₀x-b=0，
當(dāng)△=16

x

20

+8b＞0時(shí)，x₁+x₂=2x₀，所以A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．…（4分）
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=2x²-alnx，F′(x)=4x-

a

x

，
令F'（x）=0，得x=

a

2

，所以f（x）的減區(qū)間為(0，

2

2

)，增區(qū)間為(

a

2

，+∞)，
∴F（x）_極小值=F(x)min=

a

2

-aln

a

2

，
不等式f（x）≥g（x）恒成立，等價(jià)于

a

2

-aln

a

2

≥0，
∴a≤4e且a＞0，即a∈（0，4e]．…（10分）
（3）證明：由（2）得2x²≥4elnx，即

4lnx

x4

≤

2

ex2

，所以

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

≤

2

e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜

2

e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

)＜

2

e

…
即

ln24

24

+

ln34

34

+…+

lnn4

n4

＜

2

e

（14分）