在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=(1+
1
n
)an+
n+1
2n

(Ⅰ)設(shè)bn=
an
n
,寫出數(shù)列{bn}的遞推關(guān)系式,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn
(Ⅲ)若bn
1
4
m2+m-1
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(I)由已知變形為
an+1
n+1
=
an
n
+
1
2n
,即bn+1-bn=
1
2n
.利用“累加求和”即可得出;
(II)由(I)可得an=2n-
n
2n-1
,利用分組求和,再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和“錯(cuò)位相減法”即可得出Sn
(III)數(shù)列{bn}單調(diào)遞增,可得bn<2.又bn
1
4
m2+m-1
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立?
1
4
m2+m-1>(bn)max
.解出即可.
解答:解:(I)由a1=1,an+1=(1+
1
n
)an+
n+1
2n
,
可得
an+1
n+1
=
an
n
+
1
2n
,∴bn+1-bn=
1
2n

∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=
1
2n-1
+
1
2n-2
+…+
1
2
+1

=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
=2-
1
2n-1

(II)由(I)可得an=2n-
n
2n-1

令Tn=1+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1
,
1
2
Tn
=
1
2
+
2
22
+…+
n-1
2n-1
+
n
2n

相減得
1
2
Tn
=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n
=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
-
n
2n
=2-
n+2
2n
,
Tn=4-
n
2n-1

Sn=2×
n(n+1)
2
-(4-
n
2n-1
)
=n(n+1)+
n
2n-1
-4

(III)∵數(shù)列{bn}單調(diào)遞增,∴bn<2.∵bn
1
4
m2+m-1
對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,∴
1
4
m2+m-1>(bn)max

1
4
m2+m-1≥2
,解得m≤-6或m≥2.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握“累加求和”、分組求和、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和“錯(cuò)位相減法”、數(shù)列單調(diào)性、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,
a
 
1
=1
,an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
2-21-n
2-21-n

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對(duì)任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a=
12
,前n項(xiàng)和Sn=n2an,求an+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論,然后再解答)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三(上)第四次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

在數(shù)列{an}中,a,并且對(duì)任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:

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