Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右焦點F到右準(zhǔn)線的距離為2，直線l過右焦點F且與橢圓E交于A、B兩點．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與x軸垂直，C為橢圓E上的動點，求CA²+CB²的取值范圍；
（3）若動直線l與x軸不重合，在x軸上是否存在定點P，使得PF始終平分∠APB？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=2}\end{array}\right.$，得a，b即可
（2）A（2，$\sqrt{2}$），B（2，-$\sqrt{2}$），設(shè)點C（x₀，y₀），則CA²+CB^2=（x₀-2）²+（y₀-$\sqrt{2}$）²+_^（x0-2）²+（y₀+$\sqrt{2}$）²=2x₀²+2y₀²-8x₀+12，又點C在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，消去y₀得CA²+CB²⁼${{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+20$，${x}_{0}∈[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$，即可求解．
（3）假設(shè)在x軸上存在點P滿足題意，不妨設(shè)P（t，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由PF平分∠APB知：k_AP+k_BP=0，又k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-t）+{y}_{2}（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，利用韋達(dá)定理即可求解．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{{a}^{2}}{c}-c=2}\end{array}\right.$，得a=2$\sqrt{2}$，c=2，…（2分）
∵a²=b²+c²，∴b²=4，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…（4分）
（2）當(dāng)直線AB與x軸垂直時，A（2，$\sqrt{2}$），B（2，-$\sqrt{2}$），設(shè)點C（x₀，y₀），
則CA²+CB^2=（x₀-2）²+（y₀-$\sqrt{2}$）²+_^（x0-2）²+（y₀+$\sqrt{2}$）²=2x₀²+2y₀²-8x₀+12，
又點C在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，消去y₀得CA²+CB²⁼${{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+20$，${x}_{0}∈[-2\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$，
∴CA²+CB²得取值范圍為[28-16$\sqrt{2}$，28+16$\sqrt{2}$]．…（8分）
（3）假設(shè)在x軸上存在點P滿足題意，不妨設(shè)P（t，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設(shè)直線AB的方程為：x=my+2，聯(lián)列$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，消去x得（m²+2）y²+4my-4=0，
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-4m}{{m}^{2}+2}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-4}{{m}^{2}+2}$，…（12分）
由PF平分∠APB知：k_AP+k_BP=0，…（13分）
又k_AP+k_BP=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}-t）+{y}_{2}（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，
又x₁=my₁+2，x₂=my₂+t，得（2-t）（y₁+y₂）+2my₁y₂=0，
即（2-t）×$\frac{-4m}{{m}^{2}+2}$+2m×$\frac{-4}{{m}^{2}+2}$=0，得t=4，
所以存在點P（4，0）滿足題意．           …（16分）

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，方程思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．