Question

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其導(dǎo)函數(shù)記為f_n^′（x），且滿足：為常數(shù)．
（I）試求λ的值；
（II）設(shè)函數(shù)f_2n-1（x）與f_n（1-x）的乘積為函數(shù)F（x），求F（x）的極大值與極小值；
（III）若g_n（x）=e^x•f_n（x），試證明關(guān)于x的方程在區(qū)間（0，2）上有唯一實(shí)數(shù)根；記此實(shí)數(shù)根為x（n），求x（n）的最大值．

Answer 1

解：（1）f′2（x）=2x，∴2[x1+（x2-x1）]=（x22-x12）/（x2-x1）
∴x2+x1=2x1+（x2-x1）?λ=2
（2）令y=F（X）=f′2n-1（x）•fn（1-x）=（1-x）n•x2n-1，則
①當(dāng)n=1時(shí)，y=x-x2，y′=1-2x，令y′=o，得x=，x∈{-∞，}，y′＞0
x∈{，+∞}，y′＜0，所以，當(dāng)x=時(shí)，y極大=，無極小值
②當(dāng)n≥2時(shí)，y′=-n（1-x）^n_•x2n-1+（2n-1）x^（2n-2）．（1-x）^n=_x2n-1．（1-x）n[（2n-1）-（3n-1）x]
令y′=0則x₁=0，x₂=，x₃=1且x_1^＜x_2^＜x₃
①當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，隨x的變化，y′和y的變化如下：
分析：（1）利用求導(dǎo)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令n=2，代入等式求λ，
（2）利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，畫圖求函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求極值，
（3）利用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)和利用數(shù)學(xué)歸納法，在當(dāng)a=1時(shí)和當(dāng)a≥2時(shí)的條件下證明
點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，和數(shù)學(xué)歸納法的使用，注意畫圖，有點(diǎn)難度