Question

在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎．已知教師甲投進每個球的概率都是．
（Ⅰ）記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望；
（Ⅱ）求教師甲在一場比賽中獲獎的概率；
（Ⅲ）已知教師乙在某場比賽中，6個球中恰好投進了4個球，求教師乙在這場比賽中獲獎的概率；教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率相等嗎？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6由題意直接可知X～B（6，）即可求解
（Ⅱ）教師甲在一場比賽中獲獎：分為三種情況（中4球，5球，6球）但都必須最后2個球都投進者，故所求的概率為．
（Ⅲ）教師乙在某場比賽中的事件總數(shù)為：A₆6，而6個球中恰好投進了4個球的事件數(shù)為：A₄2×A₄4，故而教師乙在這場比賽中獲獎的概率為：
  根據(jù)（Ⅱ）知教師甲在一場比賽中獲獎的概率為：，而，故教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率不相等．
解答：解：（Ⅰ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6．
依條件可知X～B（6，）.（k=0，1，2，3，4，5，6）
X的分布列為：

X		1	2	3	4	5	6
P

所以=．
或因為X～B（6，），所以．即X的數(shù)學期望為4
（Ⅱ）設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，
則=．
答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為．
（Ⅲ）設教師乙在這場比賽中獲獎為事件B，
則．
即教師乙在這場比賽中獲獎的概率為．
顯然，所以教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率不相等．
點評：本題考查了離散型隨機變量的期望與方差，n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率，離散型隨機變量及其分布列屬于基礎題．