Question

如圖（1），在等腰直角三角形ABC中，AB=2

2

，∠ABC=90°，點O，M，N分別為線段AC，OC，BC的中點，將△ABO和△MNC分別沿BO，MN折起，使二面角A-BO-M和二面角C-MN-O都成直二面角，如圖（2）所示．

（1）求證：AB∥面CMN；
（2）求平面ANC與平面CMN所成的銳二面角的余弦值；
（3）求點M到平面ANC的距離．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得OB∥面CMN，OA∥MC，OA?面CMN，由此能證明AB∥面CMN．
（2）分別以OB，OM，OA為x，y，z軸建立坐標系，利用向量法能求出平面ANC與平面CMN所成的銳二面角的余弦值．
（3）由

MC

=(0，0，1)，平面ANC的法向量為：

n1

=(1，1，1)，能求出點M到平面ANC的距離．

解答： （12分）
解：（1）∵OB∥MN，OB?面CMN，
∴OB∥面CMN，OA∥MC，OA?面CMN，
∴OA∥面CMN，且OA∩OB=O，
∴面OAB∥面CMN，又AB?面OAB，
∴AB∥面CMN．
（2）分別以OB，OM，OA為x，y，z軸建立坐標系，
則A（0，0，2），B（2，0，0），
M（0，1，0），C（0，1，1），N（1，1，0），
∴

AC

=(0，1，-1)，

NC

=(-1，0，1)，
設平面ANC的法向量為：

n1

=(x，y，z)，
則有

n1 • AC =y-z=0 n1 • NC =-x+z=0

，
令x=1，得

n1

=(1，1，1)，
而平面CMN的法向量為：

OM

=

n1

=(0，1，0)，
|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

3

3

，
∴平面ANC與平面CMN所成的銳二面角的余弦值為

3

3

．
（3）

MC

=(0，0，1)，
由（2）知平面ANC的法向量為：

n1

=(1，1，1)，
∴點M到平面ANC的距離d=

| MC • n1 |

| n1 |

=

3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．