如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當(dāng)直線(xiàn)AB斜率為0時(shí)，AB+CD=7．
（1）求橢圓的方程；
（2）求AB+CD的取值范圍．
考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由題意知，e=
c
a
=
1
2
，CD=7-2a，再由點(diǎn)(c，
7-4c
2
)在橢圓上，能求出橢圓的方程．
（2）當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在時(shí)，AB+CD=7；當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-1），直線(xiàn)CD的方程為y=-
1
k
(x-1)．由此能求出AB+CD=
12(k2+1)
3+4k2
+
12(k2+1)
3k2+4
=
84(k2+1)2
(3+4k2)(3k2+4)
，從而能求出AB+CD的取值范圍．
解答： 解：（1）由題意知，e=
c
a
=
1
2
，CD=7-2a，
所以a2=4c2，b2=3c2，…2分
因?yàn)辄c(diǎn)(c，
7-4c
2
)在橢圓上，
即
c2
4c2
+
(
7-4c
2
)2
3c2
=1，
解得c=1．
所以橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．…6分
（2）①當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，
由題意知AB+CD=7；…7分
②當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
且設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=k（x-1），
則直線(xiàn)CD的方程為y=-
1
k
(x-1)．
將直線(xiàn)AB的方程代入橢圓方程中，
并整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
所以x1=
4k2-6
k2+1
3+4k2
，x2=
4k2+6
k2+1
3+4k2
，
所以AB=
k2+1
|x1-x2|=
12(k2+1)
3+4k2
．…10分
同理，CD=
12(
1
k2
+1)
3+
4
k2
=
12(k2+1)
3k2+4
．
所以AB+CD=
12(k2+1)
3+4k2
+
12(k2+1)
3k2+4
=
84(k2+1)2
(3+4k2)(3k2+4)
，…12分
令t=k2+1，則t＞1，3+4k2=4t-1，3k2+4=3t+1，
設(shè)f(t)=
(4t-1)(3t+1)
t2
=-
1
t2
+
1
t
+12=-(
1
t
-
1
2
)2+
49
4
，
因?yàn)閠＞1，所以
1
t
∈(0，1)，
所以f(t)∈(12，
49
4
]，
所以AB+CD=
84
f(t)
∈[
48
7
，7)．
綜合①與②可知，AB+CD的取值范圍是[
48
7
，7]． …16分．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程的求法，考查兩條線(xiàn)段和的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)四面體的全面積為S，四個(gè)面面積最大者記為S1，求
S
S1
的取值范圍．

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節(jié)日期間，高速公路車(chē)輛較多，某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的順序，隨機(jī)抽取第一輛汽車(chē)后，每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢(xún)問(wèn)調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下圖的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）請(qǐng)直接回答這種抽樣方法是什么抽樣方法？并估計(jì)出這40輛車(chē)速的中位數(shù)；
（Ⅱ）設(shè)車(chē)速在[80，85）的車(chē)輛為A1，A2，…，An（m為車(chē)速在[80，85）上的頻數(shù)），車(chē)速在[85，90）的車(chē)輛為B1，B2，…，Bn（n為車(chē)速在[85，90）上的頻數(shù)），從車(chē)速在[80，90）的車(chē)輛中任意抽取2輛共有幾種情況？請(qǐng)列舉出所有的情況，并求抽取的2輛車(chē)的車(chē)速都在[85，90）上的概率．

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已知數(shù)列[an}滿(mǎn)足：nan+1=（n+2）an+n，（n∈N*）且a1=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令bn=（-1）n+1(an)-
1
2
，數(shù)列{bn}的前項(xiàng)和為T(mén)n，求證：n≥2時(shí)，T2n-1＜ln2且T2n＞ln2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=msinx+
3
cosx，（m＞0）的最大值為2．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，π]上的值域；
（2）已知△ABC外接圓半徑R=2，f（A-
π
3
）+f（B-
π
3
）=8sinAsinB，角A，B所對(duì)的邊分別是a，b，求
1
a
+
1
b
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=Asin（wx+φ）+b，（w＞0），|φ|＜
π
2
的圖象的一部分如圖所示．
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（2）試寫(xiě)出f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若圓O在點(diǎn)P處的切線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)N，試判斷直線(xiàn)MN與軌跡E的位置關(guān)系．

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等比數(shù)列{an}中，a3=-1，a7=-4，則a3和a7的等比中項(xiàng)為
 
．

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已知方程x1+x2+x3+x4=20，則這個(gè)方程的正整數(shù)解的組數(shù)是
 
．

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