設(shè)函數(shù),

(1)當(dāng)時,函數(shù)取得極值,求的值;

(2)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的最大值;

(3)當(dāng)時,關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的值.

 

【答案】

(1);(2)時,取最大值;(3)

【解析】

試題分析:(1)先求出,因?yàn)楫?dāng)時,函數(shù)取得極值,所以,從而求出;(2)根據(jù)判斷函數(shù)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性,從而判斷出最大值點(diǎn),求出最大值;(3)由題意可知,方程有唯一實(shí)數(shù)解,所以有唯一實(shí)數(shù)解,設(shè),則函數(shù)圖像與軸有且只有一個交點(diǎn),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,可知函數(shù)存在極小值即為最小值,最小值為,從中求出

試題解析:

(1)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image018.png">,所以.因?yàn)楫?dāng)時,函數(shù)取得極值,所以,所以.經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.

(2),令,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image025.png">,所以,即在[1,2]上單調(diào)遞增,

所以時,取最大值

(3)因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image011.png">有唯一實(shí)數(shù)解,

所以有唯一實(shí)數(shù)解,

設(shè),則,

,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image029.png">,

所以(舍去),

當(dāng)時,上單調(diào)遞減,

當(dāng)時,上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時,取最小值,則   即

所以,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image029.png">,所以(*),設(shè)函數(shù)

因?yàn)楫?dāng)時,是增函數(shù),所以至多有一解.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image048.png">,所以方程(*)的解為

,解得

考點(diǎn):本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,突出考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2(x∈R)

(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求y=f(x)在[-1,2]上的最小值;
(3)當(dāng)x∈(1,+∞)時,用數(shù)學(xué)歸納法證明:?n∈N*,ex-1
xn
n!

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x
x+1
(x>0)
,觀察:f1(x)=f(x)=
x
x+1
,f2(x)=f(f1(x))=
x
2x+1
f3(x)=f(f2(x))=
x
3x+1
,f4(x)=f(f3(x))=
x
4x+1
,根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)n∈N+且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=
x
nx+1
x
nx+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且b2+c2-a2=bc.向量
m
=(
3
sin
x
2
,1)  ,
n
=(cos
x
2
cos2
x
2
)

(Ⅰ)求角A的大�。�
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)=
m
n
,當(dāng)f(B)取最大值
3
2
時,判斷△ABC的形狀.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+1
-ax,其中a>0

(1)解不等式f(x)≤1
(2)求證:當(dāng)a≥1時,函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)函數(shù)
(3)求使f(x)>0對一切x∈R*恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
a
3
x3+
1-a
2
x2-x
,a∈R.
(1)當(dāng)a=-2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當(dāng)a≠-1時,求函數(shù)f(x)的極小值.

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