設(shè)函數(shù),
.
(1)當(dāng)時,函數(shù)
取得極值,求
的值;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)
在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(3)當(dāng)時,關(guān)于
的方程
有唯一實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)
的值.
(1);(2)
時,
取最大值
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)先求出,因?yàn)楫?dāng)
時,函數(shù)
取得極值,所以
,從而求出
;(2)根據(jù)
判斷函數(shù)
在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性,從而判斷出最大值點(diǎn),求出最大值;(3)由題意可知,方程
有唯一實(shí)數(shù)解,所以
有唯一實(shí)數(shù)解,設(shè)
,則函數(shù)
圖像與
軸有且只有一個交點(diǎn),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,可知函數(shù)存在極小值即為最小值,最小值為
,從中求出
.
試題解析:
(1)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image018.png">,所以
.因?yàn)楫?dāng)
時,函數(shù)
取得極值,所以
,所以
.經(jīng)檢驗(yàn),
符合題意.
(2),令
得
,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image025.png">,所以,即
在[1,2]上單調(diào)遞增,
所以時,
取最大值
.
(3)因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image011.png">有唯一實(shí)數(shù)解,
所以有唯一實(shí)數(shù)解,
設(shè),則
,
令,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image029.png">,
,
所以(舍去),
,
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞減,
當(dāng)時,
,
在
上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時,
取最小值
,則
即
,
所以,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image029.png">,所以
(*),設(shè)函數(shù)
,
因?yàn)楫?dāng)時,
是增函數(shù),所以
至多有一解.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042104321006258066/SYS201404210433013750617603_DA.files/image048.png">,所以方程(*)的解為,
即,解得
.
考點(diǎn):本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,突出考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
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