Question

設(shè)橢圓ax²+by²=1與直線x+y-1=0相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=2，OC的斜率為，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐標(biāo)是方程組的解．兩式相減，得出b與a的關(guān)系，再由方程組消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得a，b值，從而求得橢圓的方程．
解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐標(biāo)是方程組的解．
由ax+by=1，ax+by=1，兩式相減，得
a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213604514946732/SYS201310232136045149467023_DA/2.png">=-1，
所以=，
即=，==，所以b=a①
再由方程組消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由|AB|===
=2，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（）²-4•=4．②
由①②解得a=，b=，
故所求的橢圓的方程為+=1．
點(diǎn)評(píng)：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式，再利用對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分來列式求解．