Question

（本題滿分14分）已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）已知結(jié)論：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，則存在，使得. 試用這個結(jié)論證明：若函數(shù)（其中），則對任意，都有；

（Ⅲ）已知正數(shù)滿足，求證：對任意的實數(shù)，若時，都有.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),然后借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性，然后證明最小值大于零即可。而第三問中，在上一問的基礎(chǔ)上，運用結(jié)論放縮得到證明。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題設(shè)，函數(shù)的定義域為，且

所以，得，此時.

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

函數(shù)在處取得極大值，故       …………………………4分

（Ⅱ）令，

則.

因為函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，則根據(jù)結(jié)論可知：存在

使得                      …………………………7分

又，

當(dāng)時，，從而單調(diào)遞增，；

當(dāng)時，，從而單調(diào)遞減，；

故對任意，都有         . …………………………9分

（Ⅲ），且，，

 

同理，      …………………………12分

由（Ⅱ）知對任意，都有，從而

．

…………………………14分

考點：考查了導(dǎo)數(shù)的運用

點評：解決該試題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)單調(diào)性，進而分析得到最值，證明不等式的成立。屬于中檔題 。